Question

【題目】已知AOB的一個頂點(diǎn)O是拋物線C：的頂點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)都在C上，且=0，

（1）證明：直線AB恒過定點(diǎn)P（2，0）

（2）求AOB面積的最小值

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）4.

【解析】

（1）由得所在直線與所在的直線垂直，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式得直線AB的方程，化簡整理即可得到答案.

（2）由（1）的結(jié)論設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程化簡，由根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式即可求得的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

（1）依題設(shè)所在的直線為，

因?yàn)?/span>，所以，

所以所在的直線為,

由 解得或，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

同理由可得點(diǎn)的坐標(biāo)為

所以所在的直線方程為，

化簡整理得：，

所以對任何不為0的實(shí)數(shù)，當(dāng)時，恒有，

所以直線AB恒過定點(diǎn).

（2）由（1）知直線AB恒過定點(diǎn)，

則可直線AB的方程為，設(shè)

由得,

則

所以

，

所以

所以當(dāng)時，的面積取得最小值為