Question

設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且方程有一根

為，

(1)  求，；

(2)  猜想數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明．

Answer 1

解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，有一根為＝－1，

于是(－1)²－(－1)－＝0，解得＝1/2.  

當(dāng)n＝2時(shí)，有一根為＝，

于是(－1/2)²－(－1/2)－＝0，解得＝1/6 .

(2)由題設(shè)(－1)²－(－1)－＝0，

－2＋1－＝0    當(dāng)n≥2時(shí)，＝－，

代入上式得－2＋1＝0.①.

由(1)得S₁＝＝1/2，＝＋＝1/2＋1/6＝2/3.

由①可得_s3＝3/4.由此猜想＝n/n＋1，n＝1,2,3，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．  

(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即＝k/k＋1，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得＝12－Sk，

即＝k＋1/k＋2，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立

綜上，由(i)、(ii)可知＝n/n＋1對(duì)所有正整數(shù)n都成立．.