【題目】如圖，已知
是圓柱
底面圓O的直徑，底面半徑
，圓柱的表面積為
，點
在底面圓
上，且直線
與下底面所成的角的大小為
.
(1)求
的長；
(2)求二面角
的大小的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1)根據母線
底面
，即可找出
與下底面所成的角的為
，從而在直角三角形
中，即可求出
；
(2) 以
為坐標原點，以
、
分別為
、
軸建立空間直角坐標系,寫出所需點的坐標，分別求出平面
和平面
的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角
的大小的余弦值.
(1)設圓柱的母線長為
，則根據已知條件可得，
，
，解得
，因為底面，所以是在底面上的射影，所以是直線與下底面所成的角，即
在直角三角形中，
，
，
(2)因為
是底面直徑，，所以
以為坐標原點，以、分別為、軸建立空間直角坐標系,如圖所示，
則
、
、
、
，
于是
,
，設平面
的一個法向量為
，
則
即
不妨令
，即平面的一個法向量
，
因為平面
的一個法向量為
，
設二面角的大小為
，則
，
由于二面角為銳角，所以二面角的大小的余弦值是．
寒假學與練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．
（1）當a＝4時，求解不等式f（x）≥8；
（2）已知關于x的不等式f（x）
在R上恒成立，求參數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程，曲線的參數方程；
（2）若
分別為曲線，上的動點，求
的最小值，并求取得最小值時，
點的直角坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點與上下頂點構成直角三角形，以橢圓E的長軸為直徑的圓與直線
相切．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）
為橢圓
上不同的三點，
為坐標原點，若
，試問：
的面積是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】依據某地某條河流8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數據所繪制的頻率分布直方圖如圖（甲）所示；依據當地的地質構造，得到水位與災害等級的頻率分布條形圖如圖（乙）所示.
（1）試估計該河流在8月份水位的眾數；
（2）我們知道若該河流8月份的水位小于40米的頻率為f，該河流8月份的水位小于40米的情況下發(fā)生1級災害的頻率為g，則該河流8月份的水位小于40且發(fā)生1級災害的頻率為
，其他情況類似.據此，試分別估計該河流在8月份發(fā)生12級災害及不發(fā)生災害的頻率
，
，
；
（3）該河流域某企業(yè)，在8月份，若沒受12級災害影響，利潤為500萬元；若受1級災害影響，則虧損100萬元；若受2級災害影響則虧損1000萬元.現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應對方案:
方案 | 防控等級 | 費用（單位:萬元） |
方案一 | 無措施 | 0 |
方案二 | 防控1級災害 | 40 |
方案三 | 防控2級災害 | 100 |
試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
，
，…，
的項
，其中
…，
，
，其前項和為
，記除以3余數為1的數列，，…，的個數構成的數列為
，.
（1）求
的值；
（2）求數列的通項公式，并化簡.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
(
為參數)。在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸)中，圓
的極坐標方程為
。
（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；
（2）設圓與直線交于
，
兩點，若點
的坐標為
，求
。
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