Question

18．某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院  抄錄了1至6月份每月10日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：

日期	晝夜溫差x（℃）	就診人數(shù)y（人）
1月10日	10	22
2月10日	11	25
3月10日	13	29
4月10日	12	26
5月10日	8	16
6月10日	6	12

該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個(gè)月的概率；
（2）若選取的是1月與6月的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=bx+a；
（3）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2人，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(wèn)該小組所得線性回歸方程是否理想？
（參考公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}-\overline{x}{y}_{i}-\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}-\overline{{x}^{2}}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （1）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C₆²種情況，滿足條件的事件是抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)求線性回歸方程系數(shù)的方法，求出系數(shù)b，把b和x，y的平均數(shù)，代入求a的公式，做出a的值，寫(xiě)出線性回歸方程．
（3）根據(jù)所求的線性回歸方程，預(yù)報(bào)當(dāng)自變量為10和6時(shí)的y的值，把預(yù)報(bào)的值同原來(lái)表中所給的10和6對(duì)應(yīng)的值做差，差的絕對(duì)值不超過(guò)2，得到線性回歸方程理想．

解答 解：（1）由題意知本題是一個(gè)古典概型，
設(shè)抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)為事件A，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從6組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有C₆²=15種情況，
每種情況都是等可能出現(xiàn)的其中，
滿足條件的事件是抽到相鄰兩個(gè)月的數(shù)據(jù)的情況有5種，
∴P（A）=$\frac{5}{15}$=$\frac{1}{3}$；
（2）由數(shù)據(jù)求得$\overline{x}$=11，$\overline{y}$=24，
由公式求得$\hat$=$\frac{\sum _{i=1}^{4}{（x}_{i}-\overline{x}{）（y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{4}{（x}_{i}-\overline{{x）}^{2}}}$=$\frac{0+10+2+24}{0+4+1+9}$=$\frac{18}{7}$，
再由$\hat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，求得 $\hat{a}$=$\frac{30}{7}$，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\hat{y}$=$\frac{18}{7}$x-$\frac{30}{7}$，
（3）當(dāng)x=10時(shí)，$\hat{y}$=$\frac{150}{7}$，|$\frac{150}{7}$-22|=$\frac{4}{7}$＜2，
當(dāng)x=6時(shí)，$\hat{y}$=$\frac{78}{7}$，|$\frac{78}{7}$-12|=$\frac{6}{7}$＜2，
∴該小組所得線性回歸方程是理想的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求法，考查等可能事件的概率，考查線性分析的應(yīng)用，考查解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目，這種題目可以作為解答題出現(xiàn)在高考卷中．