Question

已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1，滿足f[f（a）]=的實(shí)數(shù)a的個數(shù)為________個．

Answer 1

8
分析：令f（a）=x，則f[f（a）]=，轉(zhuǎn)化為f（x）=．先解f（x）=在x≥0時(shí)的解，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）=在x＜0時(shí)的解，最后解方程f（a）=x即可．
解答：令f（a）=x，則f[f（a）]=，變形為f（x）=；
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1=，解得x₁=1+，x₂=1-；
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=的解為x₃=-1-，x₄=-1+；
綜上所述，f（a）=1+或1-或-1-或-1+．
當(dāng)a≥0時(shí)，
f（a）=-（a-1）²+1=1+，方程無解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+，方程有1解；
故當(dāng)a≥0時(shí)，方程f（a）=x有4解，
由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)a＜0時(shí)，方程f（a）=x也有4解，
綜上所述，滿足f[f（a）]=的實(shí)數(shù)a的個數(shù)為8，
故答案為：8．
點(diǎn)評：題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和方程的解的個數(shù)問題，同時(shí)運(yùn)用了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力要求較高，是高考的熱點(diǎn)問題．