Question

如圖所示，在四面體P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B-AP-C的余弦值為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  7

  7

• C、

  3

  3

• D、

  5

  7

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)AB=BC=CA=PC=a．知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中點(diǎn)D連接BD，PD，得△PAD為△PAB在平面PAC的投影．二面角B-AP-C為α，由投影定理得cosα=

S△PAD

S△PAB

．

解答： 解：設(shè)AB=BC=CA=PC=a．
知平面PAC⊥平面ABC，取AC的中點(diǎn)D連接BD，PD，
知BD⊥AC，故D為B點(diǎn)在平面PAC的投影．而△PAD為△PAB在平面PAC的投影．
△PAD的面積為：S=

1

2

×1×1×

1

2

a2=

a2

4

，
△PAB中，PA=PB=

2

a，AB=a．
由余弦定理，解得cos∠APB=

2+2-1

2×2

=

3

4

．
從而sin∠APB=

7

4

．
△PAB的面積為S′=

a2

2

×

1

2

×

2

×

2

×

7

4

=

7 a2

4

，
設(shè)二面角B-AP-C為α，
由投影定理得cosα=

S

S′

=

a2 4

7 a2 4

=

7

7

．
故答案為：

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．