Question

3．若函數(shù)f（x）=4sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱，且當(dāng)x₁，x₂∈（-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{5π}{12}$），x₁≠x₂時(shí)，f（x₁）=f（x₂），則f（x₁+x₂）等于（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可得sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=±1，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可解得φ的值，得到函數(shù)f（x）解析式，由題意利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得x₁+x₂=-$\frac{11π}{6}$，代入函數(shù)解析式利用誘導(dǎo)公式即可計(jì)算求值．

解答 解：∵sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=±1，
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得其對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∵x₁，x₂∈（-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{5π}{12}$），x₁≠x₂時(shí)，f（x₁）=f（x₂），
∴x₁，x₂∈（-$\frac{7π}{6}$，-$\frac{2π}{3}$），且（x₁，0），（x₂，0）關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{11π}{12}$，0）對(duì)稱，
∴x₁+x₂=-$\frac{11π}{6}$，
∴f（x₁+x₂）=4sin（-$\frac{11π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=2$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．