Question

已知f（x）=ax²-bx+c（a，b∈R），f（-1）=0．對任意x∈R，f（x）-x≥0恒成立．當x∈（0，2）時，f(x)≤

x2+1

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g(x)=log2(x2+ax-9)的定義域為[1，2]．對任意x1，x2∈[-

1

2

，

3

2

]，不等式|f（2x₂）-f（2x₁）|≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用f（-1）=0得到參數(shù)a、b、c的一個關(guān)系式，再利用x=1時的特殊情況，得到f（1）≥1，f（1）≤1，從而f（1）=1，又得到參數(shù)a、b、c的一個關(guān)系式，再根據(jù)任意f（x）-x≥0對于x∈R恒成立，由函數(shù)圖象的特征，求出參數(shù)a、b、c的值，得到本題結(jié)論；
（2）在不等式|f（2x₂）-f（2x₁）|≤g（x）中，由于x1，x2∈[-

1

2

，

3

2

]的任意性，求出f（2x）在區(qū)間[-

1

2

，

3

2

]上的最大值和最小值，從而得到g（x）≥4，參變量分離后，求出關(guān)于x的代數(shù)的最值，得到實數(shù)a的取值范圍，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²-bx+c（a，b∈R），f（-1）=0，
∴a-b+c=0．
∵對任意x∈R，f（x）-x≥0恒成立．
∴f（1）≥1．
又∵當x∈（0，2）時，f(x)≤

x2+1

2

，
∴f（1）≤1．
∴f（1）=1．
∴a-b+c=1，
∴a+c=

1

2

，b=-

1

2

．
∵對任意x∈R，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax2-

1

2

x+

1

2

-a≥0對任意x∈R恒成立，
∴

a＞0 △≤0

，
∴a=c=

1

4

，
∴函數(shù)f（x）的解析式為：f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
（2）由（1）知：f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
∴f（2x）=x²+x+

1

4

，
當x∈[-

1

2

，

3

2

]時，[f（2x）]_max=4，[f（2x）]_min=0，
∵對任意x1，x2∈[-

1

2

，

3

2

]，不等式|f（2x₂）-f（2x₁）|≤g（x）恒成立，
∴g（x）≥4．
∴l(xiāng)og₂（x²+ax-9）≥log₂16，
∴x²+ax-25≥0，
∵函數(shù)g(x)=log2(x2+ax-9)的定義域為[1，2]，
∴a≥

25-x2

x

=

25

x

-x，
∵

25

x

-x在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴

25

x

-x≤

25

1

-1=24，
∴a≥24．
∴實數(shù)a的取值范圍是[24，+∞）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和恒成立問題，本題難度適中，有一定的計算量，屬于中檔題．