Question

 

    已知定點(diǎn)C（-1，0）及橢圓x²+3y²=5,過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．

   （1）若線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-，求直線(xiàn)AB的方程；

   （2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解  （1）依題意，直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x+1）,

將y=k（x+1）代入x²+3y²=5,

消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k=0．                  …………2 分

設(shè)A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,

① ②

則                       …………4分

由線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-，

得=-=-,解得k=±，適合①．         ……………6分

所以直線(xiàn)AB的方程為x-y+1=0,或x+y+1=0．………………7分

（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使為常數(shù)．

（�。┊�(dāng)直線(xiàn)AB與x軸不垂直時(shí)，由（1）知

x₁+x₂=-,x₁x₂=． ③

所以=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂

=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁+1）（x₂+1）

=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²．               …………9分

將③代入，整理得

=+m²

=+m²

=m²+2m--．      ………………11分

注意到是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有

6m+14=0，m=-，此時(shí)=．       ………………12分

（ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸垂直時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，

當(dāng)m=-時(shí)，亦有=．

綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M，使為常數(shù)． …………14分