Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，

（1）若，且是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)，時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)根，求正數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由，知，，由，得，故．由此能求出的取值范圍．

（2）由方程有唯一實(shí)數(shù)解，知有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，則，令，得．由此入手能夠推導(dǎo)出正數(shù)的值．

解：（1）∵，其中，

∴，，由，得，

∴.

①若，由，得，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn).

②若，則，得，或，∵是的極大值點(diǎn)，

∴，解得.

綜合①②，得的取值范圍是.

（2）∵方程中唯一實(shí)數(shù)解，∴有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則，

令，得.∵，∴，

方程有兩異號(hào)根，設(shè)，∵，∴應(yīng)舍去.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，取最小值.

∵有唯一解，∴，

則，即，∴，

∵，∴（*），

設(shè)函數(shù)，∵當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，

∴至多有一解，∵，∴方程（*）的解為，

代入方程組解得.