Question

已知f(x)=lg(

4x2+b

+2x)，其中常數(shù)b＞0．求證：
（1）當(dāng)b=1時，f（x）是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)b=4時，y=f（x）的圖象上不存在兩點A、B，使得直線AB平行于x軸．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）+f（-x）=0，即可證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）利用反證法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可證明．

解答： 證明：（1）由題意，函數(shù)定義域R，…（1分）
對定義域任意x，有：f(-x)=lg(

4x2+1

-2x)=lg

1

4x2+1 +2x

=-lg(

4x2+1

+2x)…（4分）
所以f（-x）=-f（x），即y=f（x）是奇函數(shù)．…（6分）
（2）假設(shè)存在不同的A，B兩點，使得AB平行x軸，則lg(

4xA2+4

+2xA)=lg(

4xB2+4

+2xB)…（9分）
∴

xA2+1

-

xB2+1

=x_B-x_A，
化簡得：xA2+xB2-2xAxB=0，即x_A=x_B，與A、B不同矛盾．      …（13分）
∴y=f（x）的圖象上不存在兩點，使得所連的直線與x軸平行        …（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和證明，考查反證法，屬于中檔題．