Question

2．已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）對任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出其導函數(shù)，再讓其導函數(shù)大于0對應區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內找單調區(qū)間．）
（2）已知條件可以轉化為a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$恒成立，對不等式右邊構造函數(shù)，利用其導函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＜0得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的單調遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}{e}$），
令f'（x）＞0得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是（$\frac{1}{e}$，+∞），
（2）∵g′（x）=3x²+2ax-1，由題意2xlnx≤3x²+2ax+1，
∵x＞0，
∴a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$恒成立 ①，
設h（x）=lnx-$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2x}$，
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{2{x}^{2}}$
令h′（x）=0得：x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍去）
當0＜x＜1時，h′（x）＞0；
當x＞1時，h'（x）＜0
∴當x=1時，h（x）有最大值-2，
若①恒成立，則a≥-2，
即a的取值范圍是[-2，+∞）．

點評 本題考查了導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及不等式恒成立的問題，屬于中檔題．