Question

【題目】已知圓經(jīng)過點， ，且圓心在直線上.

（1）求圓的方程；

（2）過點的直線與圓交于兩點，問在直線上是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (x-3)2+(y-2)2=13 (2) 在直線上存在定點N()，使得

【解析】試題分析：(1)由題意得到直線AB的方程，直線AB與直線的交點即圓心，從而得到圓的方程；

（2）假設(shè)存在點N(t,2)符合題意， ，設(shè)直線AB方程為，與圓的方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示即可得到t值.

試題解析：

解(1)法一：直線AB的斜率為-1，所以AB的垂直平分線m的斜率為1

AB的中點坐標(biāo)為()，因此直線m的方程為x-y-1=0

又圓心在直線l上，所以圓心是直線m與直線l的交點.

聯(lián)立方程租，得圓心坐標(biāo)為C(3,2)，又半徑r=，

所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=13

法二：設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2

由題意得

解得a=3,b=2,r=

所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=13

(2)假設(shè)存在點N(t,2)符合題意，

①當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB方程為

聯(lián)立方程組

，

消去y,得到方程

則由根與系數(shù)的關(guān)系得+

因為

所以

所以+

解得t=，即N點坐標(biāo)為()

②當(dāng)直線AB斜率不存在時，點N顯然滿足題意.

綜上，在直線上存在定點N()，使得