Question

18．甲乙兩個(gè)人參加射擊訓(xùn)練，射擊一次中靶的概率分別是p₁，p₂，其中$\frac{1}{{p}_{1}}$，$\frac{1}{{p}_{2}}$是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+6x的兩極值點(diǎn)（p₁＞p₂）．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）兩人各射擊1次，求兩人中恰好有一人中靶的概率．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=（x-2）（x-3），導(dǎo)數(shù)為0的實(shí)數(shù)根為2，3，從而2，3便為f（x）的兩極值點(diǎn)，根據(jù)p₁＞p₂，便可得出${p}_{1}=\frac{1}{2}，{p}_{2}=\frac{1}{3}$；
（2）事件“兩人中恰有一人中靶”，包含“甲中靶乙不中靶”和“乙中靶甲不中靶”兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件顯然互斥，從而分別求出這兩個(gè)事件的概率再求和即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3）；
∴2，3是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)；
p₁＞p₂；
∴$\frac{1}{{p}_{1}}＜\frac{1}{{p}_{2}}$；
∴$\frac{1}{{p}_{1}}=2，\frac{1}{{p}_{2}}=3$；
∴${p}_{1}=\frac{1}{2}，{p}_{2}=\frac{1}{3}$；
（2）甲中靶乙未中靶的概率為$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）=\frac{1}{3}$；
乙中靶甲未中靶的概率為$（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；
∴兩人中恰有一人中靶的概率為$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 考查函數(shù)極值點(diǎn)的概念，及極值點(diǎn)的求法，函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的取值情況，以及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念，及互斥事件的概率的求法．