Question

19．已知函數f（x）的定義域為R，且對任意實數都有a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當x＞0時，f（x）＜0恒成立．
（1）求f（0）；
（2）證明：函數y=f（x）是奇函數；
（3）證明：函數y=f（x）是R上的減函數．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，即可求出．
（2）令a=x，b=-x，得到f（-x）=-f（x），即可得證；
（3）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由條件得f（x₂-x₁）＜0，再由條件可得f（x₂）＜f（x₁），即可得證．

解答 解：（1）f（0）=2f（0），則f（0）=0．
（2）令a=x，b=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數y=f（x）是奇函數；
（3）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
當x＞0時，f（x）＜0恒成立，則f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂）＜f（x₁），
∴函數y=f（x）是R上的減函數．

點評 本題考查抽象函數及運用，考查函數的單調性，奇偶性，關鍵是賦值，屬于基礎題．