Question

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，直線l過F₂與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好過O，求直線l的方程．

Answer 1

解：設(shè)F₂（，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-），
由得（1+2k²）x²-4k²x+4（k²-1）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁•x₂=，
又y₁=k（x₁-），y₂=k（x₂-），∴y₁•y₂=k²x₁•x₂-k²（x₁+x₂）+2k²．
又=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），
直線l過F₂與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好過O，
，，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0，
即+k²×-k²（）+2k²=0，
解得k=±，
當(dāng)k不存在時(shí)，與不垂直．
∴所求直線方程為：y=（x-）．
分析：求出橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程組，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂，x₁•x₂，推出y₁•y₂，利用，通過x₁•x₂+y₁•y₂=0，求出k 的值，判斷斜率不存在時(shí)的情況，即可求出直線方程．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，直線與直線的垂直條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．