Question

7．設函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）當a=1時，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，不等式等價于3個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得，|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0 恒成立．令h（x）=|2x-a|+|2x+1|-x-2，化簡它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范圍．

解答 解：（1）當a=1時，不等式f（x）≤g（x）即|2x-1|+|2x+1|≤x+2，
等價于 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-4x≤x+2}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{2≤x+2}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{4x≤x+2}\end{array}\right.$ ③．
解①求得 x無解，解②求得0≤x＜$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{2}{3}$，
綜上，不等式的解集為{x|0≤x≤$\frac{2}{3}$}．
（2）由題意可得|2x-a|+|2x+1|≥x+2恒成立，轉化為|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0 恒成立．
令h（x）=|2x-a|+|2x+1|-x-2=$\left\{\begin{array}{l}{-5x+a-3，x≤-\frac{1}{2}}\\{-x+a-1，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{a}{2}}\\{3x-a-1，x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$ （a＞0），
易得h（x）的最小值為 $\frac{a}{2}$-1，令 $\frac{a}{2}$-1≥0，求得a≥2．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．