Question

(14分)已知定義在R上的函數(shù)對任意都有

，且當(dāng)時，

（1）求證為奇函數(shù)；

（2）判斷在R上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若，對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

 

Answer 1

【答案】

20.（1）證明：                ①

令x=y=0，代人①式，得，即；-----------(1分)

令，代人①式，得，又，則有

，即對任意成立，---------------(3分)

所以為奇函數(shù)；---------------------------------------------(4分)

（2）解：在R上的單調(diào)遞增，以下用定義證明：

設(shè)任意，且，則，所以--------(5分)

即----------------------(7分)

，在R上的單調(diào)遞增；------------------------(8分)

（3）由（1）（2）可知，是在R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

故由可得

--------------------------(9分)

即對任意恒成立。-------(10分)

令，問題等價于對任意恒成立。

令，其對稱軸為，-----------------------(11分)

當(dāng)即時，，符合題意；-------------------(12分)

當(dāng)時，對任意恒成立

解得-------------------------------------------（13分）

綜上所述，

當(dāng)時，，對任意恒成立。--（14分）

（3）解法二：由（1）（2）可知，是在R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，

故由可得

-----------------------------(9分)

--------------------------------------------- (10分)

即------------------------------------------------ (11分)

，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立

即的最小值為；------------------ (12分)

要使對不等式恒成立，只要使；------ (13分)

即當(dāng)時，，對任意恒成立。(14分)

 

【解析】略