Question

【題目】某縣相鄰兩鎮(zhèn)在一平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為A(1,2)、B(4,0)，一條河所在直線方程為l：x＋2y－10＝0，若在河邊l上建一座供水站P使之到A、B兩鎮(zhèn)的管道最省，問供水站P應(yīng)建在什么地方？此時(shí)|PA|＋|PB|為多少？

Answer 1

【答案】供水站應(yīng)建在點(diǎn)處；

【解析】試題分析：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)的對(duì)稱性，建立方程組的關(guān)系，進(jìn)行求解即可.

試題解析：

如圖所示，過A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，因?yàn)槿?/span>P′(異于P)在直線l上，則|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.

因此，供水站只能在點(diǎn)P處，才能取得最小值．

設(shè)A′(a，b)，則AA′的中點(diǎn)在l上，且AA′⊥l，

即，解得，即A′(3,6)．

所以直線A′B的方程為6x＋y－24＝0.

解方程組，得.

所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)．

故供水站應(yīng)建在點(diǎn)P(，)處，

此時(shí)|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝ .