Question

【題目】設函數(shù)f（x）=，若對任意給定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x0∈R滿足f（f（x0））=2a2m2+am，則正實數(shù)a的取值范圍為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先畫出函數(shù)f（x）圖像，記t=f（x0），存在唯一的x0，所以必有t＞1，所以f（t）=2a2m2+am＞1對任意給定的m∈（1，+∞）恒成立，因式分解得（ma+1）（2ma－1）＞0，因為ma+1＞0，所以2ma－1＞0恒成立，代入m=1即可.

解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：由圖象知當x＞0時，f（x）=log2x的值域為R，

當－1≤x≤0，f（x）的取值范圍為[0，1]，

當x＜－1時，f（x）的取值范圍是（－∞，1），

即由圖象知當f（x）≤1時，x的值不唯一，設t=f（x0），

當x＞0時，由f（x）=log2x≥1得x≥2，則方程f（f（x0））=2a2m2+am，

等價為f（t）=2a2m2+am，

因為2a2m2+am＞0

所以若存在唯一的x0∈R滿足f（f（x0））=2a2m2+am，

則t＞1，即由f（x）=log2x＞1得x＞2，

即當x＞2時，f（f（x））與x存在一一對應的關系，則此時必有f（f（x））＞1，

即2a2m2+am＞1，得（ma+1）（2ma－1）＞0，

因為ma+1＞0，

所以不等式等價為2ma－1＞0，設h（m）=2ma－1，

因為m＞1，a＞0，

所以只要h（1）≥0即可，得2a－1≥0，得a≥，

即實數(shù)a的取值范圍是[，+∞）．

故選：A．