Question

已知函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），求證：-

1

a

＜g(a)＜0．

Answer 1

（1）由已知可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
而 f′(x)=

a(x- 1 a )

x+1

，
∵a＞0，x＞-1，∴當(dāng) -1＜x＜

1

a

時(shí)，f'（x）＜0，
當(dāng) x＞

1

a

時(shí)，f'（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 (-1，

1

a

)，單調(diào)遞增區(qū)間是 (

1

a

，+∞)．     
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
為 g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)ln(

1

a

+1)，a＞0． 
要證明 -

1

a

＜g(a)＜0，
只須證明

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．            
設(shè) φ(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x∈（0，+∞）．                               
則 φ′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

＞0，
∴φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ln(x+1)＞

x

x+1

．
取 x=

1

a

得到

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)成立．                   
設(shè)ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可證ln（x+1）＜x．
取 x=

1

a

得到 ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．因此，-

1

a

＜g(a)＜0．