Question

【題目】設(shè)遞增數(shù)列共有項，定義集合，將集合中的數(shù)按從小到大排列得到數(shù)列；

（1）若數(shù)列共有4項，分別為，，，，寫出數(shù)列的各項的值；

（2）設(shè)是公比為2的等比數(shù)列，且，若數(shù)列的所有項的和為4088，求和的值；

（3）若，求證：為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項；

Answer 1

【答案】（1），，，，；（2），；（3）證明見解析；

【解析】

(1)根據(jù)題意從小到大計算中的值即可.

(2)易得數(shù)列的所有項的和等于中的每個項重復(fù)加了次,再根據(jù)等比數(shù)列求和即可.

(3)分別證明當(dāng)時,若為等差數(shù)列則數(shù)列恰有7項以及當(dāng)數(shù)列恰有7項證明為等差數(shù)列即可.

(1)易得當(dāng),,,時, ,

,,,

.

(2)若是公比為2的等比數(shù)列,且,則數(shù)列的所有項的和等于中每一項重復(fù)加了次,故.即,又,故,易得隨著的增大而增大.

當(dāng)時,

當(dāng)時,

當(dāng)時,

故,此時.

(3)證明：

先證明充分性：若,且為等差數(shù)列,不妨設(shè),則數(shù)列也為等差數(shù)列為的等差數(shù)列.且最小值為,最大值為.

故數(shù)列恰有7項.

再證明必要性：

若數(shù)列恰有7項.

則因為.

故的7項分別為.

又,可得,即.

同理有,故為等差數(shù)列.

綜上可知, 若,則為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項