Question

17．某工廠制作如圖所示的一種標識，在半徑為R的圓內(nèi)做一個關于圓心對稱的“工”字圖形，“工”字圖形由橫、豎、橫三個等寬的矩形組成，兩個橫距形全等且成是豎矩形長的$\sqrt{3}$倍，設O為圓心，∠AOB=2α，“工”字圖形的面積記為S．
（1）將S表示為α的函數(shù)；
（2）為了突出“工”字圖形，設計時應使S盡可能大，則當α為何值時，S最大？

Answer 1

分析 （1）連接CD，取AB的中點M，連接OM，交CD于N，由解直角三角形可得AB=2Rsinα，BC=MN=OM-ON=R（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα），α∈（0，$\frac{π}{3}$）），再由矩形的面積公式可得S=2AB•BC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB•BC，即可得到所求；
（2）運用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及兩角和的正弦公式，運用正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）連接CD，取AB的中點M，連接OM，交CD于N，
由∠AOB=2α，可得∠BOM=α，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
且BM=Rsinα，OM=Rcosα，由題意可得ON=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$Rsinα，
BC=MN=OM-ON=R（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα），
由BC＞0，可得α∈（0，$\frac{π}{3}$），
則S=2AB•BC+$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB•BC=（4+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）R²（sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α），（α∈（0，$\frac{π}{3}$））；
（2）S=（4+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）R²（sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α）
=（4+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）R²（$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）R²（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（4+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）R²
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）R²sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（4+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）R²
由α∈（0，$\frac{π}{3}$），可得$\frac{π}{6}$＜2α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
即有2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$時，S取得最大值$\frac{1+2\sqrt{3}}{3}$R²．

點評 本題考查三角形函數(shù)的應用題的解法，考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)的值域的運用，屬于中檔題．