Question

設a∈R，f（x）為奇函數(shù)，且f(2x)=

a•4x-a-2

4x+1

．
（1）求a的值及f（x）的解析式和值域；
（2）g(x)=log

2

1+x

k

，若x∈[

1

2

，

2

3

]時，log2

1+x

1-x

≤g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數(shù)的特性f（0）=0，解出a=1可得f（x）的解析式為f（x）=

2x-1

2x+1

．再由指數(shù)函數(shù)的值域，解關于y的不等式即可求出f（x）的值域；
（2）將原不等式化簡，可得log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

對x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立，由此結合對數(shù)函數(shù)的單調性和定義域，化簡得到k²≤1-x²對于x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）令t=2x，得f （x）=

a•2x-a-2

2x+1

-------------------------------（1分）
∵f （x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，解之可得a=1
∴函數(shù)的解析式為f（x）=

2x-1

2x+1

-----------------------------（3分）
∵由y=

2x-1

2x+1

解出2^x=

1+y

1-y

＞0，解之得-1＜y＜1
∴值域為 （-1，1）-------------------------------------------------（6分）
（2）log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

對x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立
即：log2

1+x

1-x

≤

log2 1+x k

log2 2

，
不等式log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

對x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立------（8分）
即

1+x 1-x ≤ (1+x)2 k2 k＞0

----①，對于x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立
由①，得k²≤1-x²對于x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立---------------------------（10分）
∴k²≤1-

4

9

=

5

9

，解之得0＜k≤

5

3

----------------------------------（12分）

點評：本題給出含有指數(shù)式的分式型函數(shù)，求函數(shù)的奇偶性和值域，并依此討論不等式恒成立時實數(shù)k的范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的單調性、奇偶性和函數(shù)恒成立問題等知識，屬于中檔題．