Question

設(shè)點(diǎn)P．Q分別是線段AB的三等分點(diǎn)，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）試用

a

，

b

表示向量

OP

；
（2）如果點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點(diǎn)，試用

a

，

b

表示：

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

．

Answer 1

分析：（1）由

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+

1

3

AB

=

OA

+

1

3

(

OB

-

OA

)，代入可求
（2）由

AA1

=

1

n

AB

=

b - a

n

，

AA2

=

2

n

AB

=

2( b - a )

n

，…，

AAn-1

=

n-1

n

 (

b

-

a

)可得

OA1

=

a

+

b - a

n

，

OA2

=

a

+

2( b - a )

n

…，

OAn-1

=

a

+

n-1

n

(

b

-

a

)，代入利用分組求和即可

解答：解（1）∵

OP

=

OA

+

AP

=

a

+

1

3

(

b

-

a

)=

1

3

b

+

2

3

a

（4分）
（2）∵

AA1

=

1

n

AB

=

b - a

n

，

AA2

=

2

n

AB

=

2( b - a )

n

，…，

AAn-1

=

n-1

n

 (

b

-

a

)
∴

OA1

=

a

+

b - a

n

，

OA2

=

a

+

2( b - a )

n

…，

OAn-1

=

a

+

n-1

n

(

b

-

a

)
∴

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=(n-1)

a

+

1+2+3+…+(n-1)

n

(

b

-

a

)
=(n-1)

a

+

n(n-1)

2n

(

b

-

a

)=(n-1)

a

+

n-1

2

(

b

-

a

)
=

n-1

2

b

+

2n-n-1

2

a

=

n-1

2

 (

b

+

a

)（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的加法及向量減法的應(yīng)用，向量的加法的運(yùn)輸，屬于向量知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合