Question

【題目】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足， .

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）通過(guò)， 及數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得 ，計(jì)算即可；（2）時(shí)；利用分組求和與等比數(shù)列求和， 通過(guò) ，可得 ，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得

由，得或，

數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列， ，

代入①，得， .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)， ，

此時(shí) ，

當(dāng)時(shí)， .

當(dāng)時(shí)，

.

綜上可知，數(shù)列的前項(xiàng)和

【方法點(diǎn)晴】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：①；②

；③；

④；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.