Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，an=2an-1+2n-1（n∈N*，n≥2），且存在實數(shù)λ使得{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，則{a_n}的通項公式是a_n=

n•2ⁿ+1

．

Answer 1

分析：先假設(shè)存在一個實數(shù)λ符合題意，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)，整理

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

即可求出實數(shù)λ，進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：假設(shè)存在一個實數(shù)λ符合題意，則

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

①
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是與n無關(guān)的常數(shù)，則

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一個實數(shù)λ=-1，使得數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列
由①知數(shù)列{

an+λ

2n

}的公差d=1，
∴

an-1

2n

=

a1-1

21

+（n-1）•1=n．
得a_n=n•2ⁿ+1
故答案為：n•2ⁿ+1．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等差關(guān)系的確定．解決問題的關(guān)鍵在于由數(shù)列{

an+λ

2n

}為等差數(shù)列，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必為與n無關(guān)的常數(shù)，進而求出對應(yīng)實數(shù)λ的值．