Question

10．幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是2⁰，接下來(lái)的兩項(xiàng)是2⁰，2¹，在接下來(lái)的三項(xiàng)式2⁶，2¹，2²，依此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（　�。�

• A． 110
• B． 220
• C． 330
• D． 440

Answer 1

分析 由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n，及項(xiàng)數(shù)，由題意可知：2ⁿ⁺¹為2的整數(shù)冪．只需將-2-n消去即可，分別分別即可求得N的值

解答 由題意可知：$\underset{\underbrace{{2}^{0}}}{第一項(xiàng)}$，$\underset{\underbrace{{2}^{0}，{2}^{1}}}{第二項(xiàng)}$，$\underset{\underbrace{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}}}{第三項(xiàng)}$，…$\underset{\underbrace{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}…，{2}^{n-1}}}{第n項(xiàng)}$，
根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：2¹-1，2²-1，2³-1，…，2ⁿ-1，
每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，…，n，
總共的項(xiàng)數(shù)為N=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
所有項(xiàng)數(shù)的和為S_n：2¹-1+2²-1+2³-1+…+2ⁿ-1=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n，
由題意可知：2ⁿ⁺¹為2的整數(shù)冪．只需將-2-n消去即可，
則①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，總共有$\frac{（1+1）×1}{2}$+2=3，不滿足N＞100，
②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，總共有$\frac{（1+5）×5}{2}$+3=18，不滿足N＞100，
③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，總共有$\frac{（1+13）×13}{2}$+4=95，不滿足N＞100，
④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，總共有$\frac{（1+29）×29}{2}$+5=440，滿足N＞100，
∴該款軟件的激活碼440．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于難題