Question

（本題滿分12分） 設(shè)函數(shù)（），．

(1) 將函數(shù)圖象向右平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象，試寫出的解析式及值域；

(2) 關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3) 對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”．設(shè)，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1），值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052511544670315035/SYS201205251156409531586575_DA.files/image002.png">　　　　　　　　　…………2分

（2）解法一:不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，

等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解，故，　　　　　　

令，由且，

所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間，

則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間，……4分

故解之得．　　　…6分

解法二：恰有三個(gè)整數(shù)解，故，即，

，

所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052511544670315035/SYS201205251156409531586575_DA.files/image016.png">，　……4分

所以，解之得．　　　　　　　　　　　……6分

（3）設(shè)，則．

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此時(shí)，取得最小值，

則與的圖象在處有公共點(diǎn)．　　　　　8分

設(shè)與存在 “分界線”，方程為，

即，

由在恒成立，則在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　…8分

下面證明恒成立．

 設(shè)，則．

 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此時(shí)取得最大值，則成立．

故所求“分界線”方程為：．

【解析】略