Question

已知點M（x，y）（x≠0）在拋物線E：y²=2px（p＞0）上，拋物線的焦點為F．有以下命題：
①拋物線E的通徑長為2p；
②若以M為切點的拋物線E的切線為l，則直線y=y與直線l所成的夾角和直線MF與直線l所成的夾角相等；
③若2p=1，且△MON（O為坐標原點，N在拋物線E上）為正三角形，則；
④若2p=1，，則拋物線E上一定存在兩點關于直線y=-x+b對稱．
其中你認為正確的所有命題的序號為    ．

Answer 1

【答案】分析：①拋物線的焦點坐標為，當x=時，y=±p，故可求拋物線E的通徑長；
②求出切線的斜率，直線MF的斜率，直線y=y的斜率，利用夾角公式可知結論正確；
③由題意，M，N關于x軸對稱，設直線OM的方程為y=，即，代入拋物線E：y²=x，求得M的縱坐標，即可判斷；
④假設拋物線上的兩點（x₁，y₁），（x₂，y₂），這兩點所在直線（設為y=x+a），應與y=-x+b這條直線垂直，且中點在直線y=-x+b上，即可求解．
解答：解：①拋物線的焦點坐標為，當x=時，y=±p，∴拋物線E的通徑長為2p，故①正確；
②不妨設y＞0，則，求導函數可得y′=，∴切線的斜率為=，由于直線MF的斜率為，直線y=y的斜率為0，利用夾角公式可知直線y=y與直線l所成的夾角和直線MF與直線l所成的夾角相等，故②正確；
③由題意，M，N關于x軸對稱，設直線OM的方程為y=，即，代入拋物線E：y²=x，所以y=，∴，故③不正確；
④假設拋物線上的兩點（x₁，y₁），（x₂，y₂），這兩點所在直線（設為y=x+a），應與y=-x+b這條直線垂直，且中點在直線y=-x+b上．
聯立方程y=x+a，y²=x：得到x²+（2a-1）x+a²=0，∴1-4a＞0，∴a＜
∵x₁+x₂=1-2a，y₁+y₂=1，∴中點（，），代入直線y=-x+b得到=-+b
∴a+b=1，∴1-b＜，∴b＞
故④正確
故答案為：①②④
點評：本題考查拋物線的性質，考查對稱性，解題的關鍵是利用拋物線方程，逐個判斷，屬于中檔題．