Question

10．設函數(shù)f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$，且$\frac{1}{9}$≤x≤9．
（1）求f（3）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值與最小值及與之對應的x的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)的解析式，通過對數(shù)運算法則求解函數(shù)值即可．
（2）利用換元法，結合x的范圍，求出換元的范圍，利用二次函數(shù)的最值求解函數(shù)的最值以及與之對應的x的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$，且$\frac{1}{9}$≤x≤9．
f（3）=log₃²3+3log₃3+2=1+3+2=6．
（2）令t=log₃x，f（x）=${log}_{3}^{2}x+3l{og}_{3}x+2$=t²+3t+2，又$\frac{1}{9}$≤x≤9，-2≤log₃x≤2，
∴-2≤t≤2，令g（t）=t²+3t+2=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，t∈[-2，2]，
當t=$-\frac{3}{2}$時，g（t）_min=-$\frac{1}{4}$，即log₃x=-$\frac{3}{2}$，可得x=${3}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴f（x）_min=-$\frac{1}{4}$，此時x=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
當t=2時，g（t）_max=g（2）=12，即log₃x=2，可得x=9，
∴f（x）_max=12，此時x=9．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，二次函數(shù)的最值的求法，換元法的應用，考查計算能力以及轉化思想的應用．