Question

15．某校組織由5名學(xué)生參加的演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場，B不是最后一個(gè)出場”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{1}{9}$
• D． $\frac{3}{20}$

Answer 1

分析 方法一：由題意，“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場，B不是最后一個(gè)出場”的出場順序?yàn)椋悍譃閮深�，求取種數(shù)，再滿足其前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場順序也為兩類，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可，
方法二：直接根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可．

解答 解：方法一：“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場，B不是最后一個(gè)出場”的出場順序?yàn)椋悍譃閮深悾?br />第一類：A最后一個(gè)出場，從除了B之外的3人選1人安排第一個(gè)，其它的任意排，故有A₃¹A₃³=18種，
第二類：A不是最后一個(gè)出場，從除了A，B之外的3人選2人安排在，第一個(gè)或最后一個(gè)，其余3人任意排，故有A₃²A₃³=36種，
故學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場，B不是最后一個(gè)出場的種數(shù)18+36=54種，
“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場，B不是最后一個(gè)出場”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場的”的出場順序?yàn)椋悍譃閮深?br />第一類：學(xué)生C第一個(gè)出場，A最后一個(gè)出場，故有A₃³=6種，
第二類：學(xué)生C第一個(gè)出場，A不是最后一個(gè)出場，從除了A，B之外的2人選1人安排在最后一個(gè)，其余3人任意排，故有A₂¹A₃³=12種，
故在“學(xué)生A和B都不是第一個(gè)出場，B不是最后一個(gè)出場”的前提下，學(xué)生C第一個(gè)出場的種數(shù)6+12=18種，
故學(xué)生C第一個(gè)出場的概率為$\frac{18}{54}$=$\frac{1}{3}$，
方法二：先排B，有A₃¹（非第一與最后），再排A有A₃¹（非第一）種方法，其余三個(gè)自由排，共有A₃¹A₃¹A₃³=54這是總結(jié)果；
學(xué)生C第一個(gè)出場，先排B，有A₃¹（非第一與最后），再排A有A₃¹，C第一個(gè)出場，剩余2人自由排，故有A₃¹A₃¹A₂²=18種，
故學(xué)生C第一個(gè)出場的概率為$\frac{18}{54}$=$\frac{1}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類計(jì)數(shù)原理和古典概率的問題，關(guān)鍵是分類求出相應(yīng)條件的順序，屬于中檔題．