Question

【題目】已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于不同于點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；

（Ⅲ）若直線的斜率為2，求證：的外接圓恒過(guò)一個(gè)異于點(diǎn)的定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

試題(I)根據(jù)已知橢圓上的一個(gè)點(diǎn)和離心率，列方程組，可求得的值.（II）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入，可求得直線方程，進(jìn)而求得三角形的面積.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程 ，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算得面積的表達(dá)式，并利用二次函數(shù)求最值的方法求得最大值.（III）設(shè)出直線方程和外接圓的方程，分別聯(lián)立直線的方程與圓、橢圓的方程，化簡(jiǎn)后的兩個(gè)方程同解，通過(guò)對(duì)比系數(shù)可求得圓方程的表達(dá)式并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：

解：（Ⅰ）由題意知：且，

可得：，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，與聯(lián)立得：

.

由于，得，解得或（舍去）.

此時(shí)，的面積為.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，與聯(lián)立得：

.

由，得；

且，.

由于，

得：.

代入式得：，

即或（此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，舍去）.

，

點(diǎn)到直線的距離為：.

的面積為，將代入得：

的面積為.

面積的最大值為.

（Ⅲ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得：

①.

設(shè)的外接圓方程為：聯(lián)立直線的方程的：

②.

方程①②為同解方程，所以：.

又由于外接圓過(guò)點(diǎn)，則.

從而可得到關(guān)于的三元一次方程組：

，解得：.

代入圓的方程為：.

整理得：；

所以，解得或（舍去）.

的外接圓恒過(guò)一個(gè)異于點(diǎn)的定點(diǎn).