Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²，設(shè)l為曲線y=f（x）在點P（x₀，f（x₀））處的切線，其中x₀∈[-1，1]．
（1）求直線l的方程（用x₀表示）
（2）求直線l在y軸上的截距的取值范圍；
（3）設(shè)直線y=a分別與曲線y=f（x）（x∈[0，+∞））和射線y=x-1（x∈[0，+∞））交于M，N兩點，求|MN|的最小值及此時a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切點，運用點斜式方程可得所求切線的方程；
（2）由直線l的方程，可令x=0，求出y，再求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)符號小于等于0，可得函數(shù)y的單調(diào)性，即可得到所求最值，進(jìn)而得到l在y軸上截距的范圍；
（3）設(shè)a=e^x-$\frac{1}{2}$x²的解為x₁，a=x-1的解為x₂，可得x₂=1+e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²，求得|MN|=|x₂-x₁|=|1+e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²-x₁|，x₁≥0，
設(shè)y=1+e^x-$\frac{1}{2}$x²-x，二次求出導(dǎo)數(shù)，即可判斷函數(shù)y的單調(diào)性，即可得到所求最小值及a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-x，
可得切線的斜率為k=e^x₀-x₀，切點為（x₀，e^x₀-$\frac{1}{2}$x₀²），
切線l的方程為y-e^x₀+$\frac{1}{2}$x₀²=（e^x₀-x₀）（x-x₀），
即為（e^x₀-x₀）x-y+e^x₀（1-x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²=0；
（2）由直線l：（e^x₀-x₀）x-y+e^x₀（1-x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²=0，
令x=0，可得y=e^x₀（1-x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²，x₀∈[-1，1]．
則y′=e^x₀（-x₀）+x₀=x₀（1-e^x₀），
當(dāng)x₀=0時，1-e^x₀=0，則x₀（1-e^x₀）=0；
當(dāng)x₀＞0時，1-e^x₀＜0，則x₀（1-e^x₀）＜0；
當(dāng)x₀＜0時，1-e^x₀＞0，則x₀（1-e^x₀）＜0；
綜上可得x₀（1-e^x₀）≤0恒成立．
則y=e^x₀（1-x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²，在x₀∈[-1，1]上遞減，
可得y的最大值為$\frac{2}{e}$+$\frac{1}{2}$，最小值為$\frac{1}{2}$．
則直線l在y軸上的截距的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{e}$+$\frac{1}{2}$]；
（3）設(shè)a=e^x-$\frac{1}{2}$x²的解為x₁，a=x-1的解為x₂，
可得x₂=1+e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²，
|MN|=|x₂-x₁|=|1+e^x₁-$\frac{1}{2}$x₁²-x₁|，x₁≥0，
設(shè)y=1+e^x-$\frac{1}{2}$x²-x，
則y′=e^x-x-1，y′′=e^x-1，
可得e^x-1≥0，則y′在[0，+∞）遞增，即有1+e^x-$\frac{1}{2}$x²-x[0，+∞）遞增，
可得1+e^x-$\frac{1}{2}$x²-x≥1+1-0=2，
則|MN|的最小值為2，此時a=1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、最值，考查方程思想和分類討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查運算能力，屬于中檔題．