Question

10．過(guò)雙曲線(xiàn)${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的右支上的一點(diǎn)P作一直線(xiàn)l與兩漸近線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，其中P是AB的中點(diǎn)；
（1）求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)P坐標(biāo)為（x₀，2）時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（3）求證：|OA|•|OB|是一個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線(xiàn)的a，b，由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，即可得到所求；
（2）令y=2代入雙曲線(xiàn)的方程可得P的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)A（m，2m），B（n，-2n），可得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線(xiàn)方程；
（3）設(shè)P（x₀，y₀），A（m，2m），B（n，-2n），代入雙曲線(xiàn)的方程，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m，n，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可得到定值．

解答 解：（1）雙曲線(xiàn)${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的a=1，b=2，
可得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±2x；
（2）令y=2可得x₀²=1+$\frac{4}{4}$=2，
解得x₀=$\sqrt{2}$，（負(fù)的舍去），
設(shè)A（m，2m），B（n，-2n），
由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2$\sqrt{2}$，2m-2n=4，
解得m=$\sqrt{2}$+1，n=$\sqrt{2}$-1，
即有A（$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$+2），
可得PA的斜率為k=$\frac{2\sqrt{2}+2-2}{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則直線(xiàn)l的方程為y-2=2$\sqrt{2}$（x-$\sqrt{2}$），
即為y=2$\sqrt{2}$x-2；
（3）證明：設(shè)P（x₀，y₀），即有x₀²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
設(shè)A（m，2m），B（n，-2n），
由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2x₀，2m-2n=2y₀，
解得m=x₀+$\frac{1}{2}$y₀，n=x₀-$\frac{1}{2}$y₀，
則|OA|•|OB|=$\sqrt{1+4}$|m|•$\sqrt{1+4}$|n|=5|mn|=5|（x₀+$\frac{1}{2}$y₀）（x₀-$\frac{1}{2}$y₀）|
=5|x₀²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$|=5為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要是漸近線(xiàn)方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線(xiàn)方程的運(yùn)用，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．