Question

4．將兩個直角三角形如圖拼在一起，當(dāng)E點在線段AB上移動時，若$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AC}+μ\overrightarrow{AD}$，當(dāng)λ取最大值時，λ-μ的值是$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 由題意知，當(dāng)λ取最大值時，點E與點B重合．△ABC中，由余弦定理求得BC 的值，根據(jù)λ=$\frac{DB}{DC}$，μ=$\frac{CB}{CD}$，求出 λ和μ 的值，從而得到λ-μ的值．

解答 解：如圖所示：設(shè)AM∥BN，且 AM=BN，由題意知，當(dāng)λ取最大值時，點E與點B重合．△ABC中，由余弦定理
求得BC=$\sqrt{16+64-2×4×8×cos60°}$=4$\sqrt{3}$．
又∵$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AC}+μ\overrightarrow{AD}$，∴λ=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{DB}{DC}$=$\frac{4}{4+4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
μ=$\frac{AN}{AD}$=$\frac{CB}{CD}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4+4\sqrt{3}}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，λ-μ=$\sqrt{3}$-2，
故答案為：$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查余弦定理，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，判斷當(dāng)λ取最大值時，點E與點B重合，是解題的突破口，求出 λ和μ 的值，是解題的關(guān)鍵．