Question

已知條件p：（x+

a-1

5

）（x+

1+a

5

）＞0；條件q：

1

2x2-3x+1

＞0
（1）請選取一個適當?shù)膶崝?shù)a的值，使利用所給的兩個條件構造的命題“若p，則q”為假命題，而其逆命題為真命題，并說明理由；
（2）請問是否存在實數(shù)a，使利用所給的兩個條件構造的命題“若p，則q”為真命題，而其否命題為假命題？若存在，請求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：不等式的解法及應用,簡易邏輯

分析：求解二次不等式得到命題p和q對應的不等式的解集．
（1）直接取a=9即可說明“若p，則q”為假命題，而其逆命題為真命題；
（2）由若p，則q為真命題得到

a-1 5 ≤ 1 2 1+a 5 ≥2

，由此不等式的解集為空集說明不存在實數(shù)a，使利用所給的兩個條件構造的命題“若p，則q”為真命題，而其否命題為假命題．

解答： 解：由（x+

a-1

5

）（x+

1+a

5

）＞0，得x＜

a-1

5

或x＞

1+a

5

．
設集合A={x|x＜

a-1

5

或x＞

1+a

5

}．
由

1

2x2-3x+1

＞0，得2x²-3x+1＞0，解得：x＜

1

2

或x＞2．
設集合B={x|x＜

1

2

或x＞2}．
（1）取a=9，則A={x|x＜

a-1

5

或x＞

1+a

5

}={x|x＜

8

5

或x＞2}．
符合B⊆A，但A不是B的子集，即
若p，則q為假命題，若q，則p為真命題；
（2）若p，則q為真命題，其否命題為假命題，即若p，則q為真命題，若q，則p為假命題．
則A⊆B，而B不是A的子集．
由

a-1 5 ≤ 1 2 1+a 5 ≥2

，解得：a∉∅．
∴不存在實數(shù)a，使利用所給的兩個條件構造的命題“若p，則q”為真命題，而其否命題為假命題．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了命題與集合間的轉化關系，關鍵是對題意得理解與應用，是中檔題．