Question

（難線性運算、坐標運算）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求M=

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

的最小值．

Answer 1

分析：先設A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），然后構造向量使得則M=|

PA

|+|

PD

|+|

PB

|+|

PC

|=(|

PA

|+|

PC

|)+(|

PB

|+|

PD

|)，然后根據向量模的不等關系進行解題．

解答：解：設A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），
則M=|

PA

|+|

PD

|+|

PB

|+|

PC

|=(|

PA

|+|

PC

|)+(|

PB

|+|

PD

|)
=(|

AP

|+|

PC

|)+(|

BP

|+|

PD

|)≥|

AP

+

PC

|+|

BP

+

PD

|
=|

AC

|+|

BD

|．
而

AC

=(1，1)，

BD

=(-1，1)，得|

AC

|+|

BD

|=

2

+

2

=2

2

．
∴M≥2

2

，當

AP

與

PC

同向，

BP

與

PD

同向時取等號，設

PC

=λ

AP

，

PD

=μ

BP

，
則1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=

1

2

．
所以，當x=y=

1

2

時，M的最小值為2

2

．

點評：本題主要考查向量的線性運算和坐標運算．屬難題．一定要熟練掌握向量的線性運算法則和巧妙的設坐標構造向量，從而方可運用向量進行解題．