Question

（2013•安慶三模）如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面ABC垂直，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA₁=2，D、E分別是CC₁與A₁B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G
（1）求證：AD⊥A₁B；
（2）求A₁B與平面ABD所成角的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用E在平面ABD上的射影是G，連結(jié)BG，可證AD垂直于平面BEG，則結(jié)論得證；
（Ⅱ）以C點為坐標(biāo)原點，分別以射線CA為x軸、CB為y軸、CC₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求A₁B與平面ABD所成角的大�。�

解答：（Ⅰ）證明：如圖，
∵點E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G．連結(jié)BG，則BG⊥AD，又EG⊥平面ABD，∴EG⊥AD
∴AD⊥平面BGE，∴AD⊥BE，即AD⊥A₁B．                  
（Ⅱ）解：以C點為坐標(biāo)原點，分別以射線CA為x軸、CB為y軸、CC₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)點的坐標(biāo)為A（a，0，0），則點B（0，a，0），A₁（a，0，2），D（0，0，1）．
由（Ⅰ）知AD⊥A₁B，又

AD

=(-a，0，1)，

BA1

=(a，-a，2)．
由

AD

•

BA1

=-a2+2=0，得a=

2

．
∴A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，D（0，0，1），A1(

2

，0，2)．

AB

=(-

2

，

2

，0)，

AD

=(-

2

，0，1)，

BA1

=(

2

，-

2

，2)，
設(shè)平面ABD的一個法向量為

.

n

=(x，y，z)，
由

n • AB =0 n • AD =0

，得

- 2 x+ 2 y=0 - 2 x+z=0

，取z=

2

，得x=y=1．
所以

n

=(1，1，

2

)
故cos＜

n

，

BA1

＞=

n • BA1

| n |•| BA1 |

=

2 - 2 +2 2

2×2 2

=

1

2

，
所以A₁B與平面ABD所成角的為

π

6

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求直線和平面所成的角，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，解答的關(guān)鍵是理解平面的法向量與斜線上的向量所成角的余弦值與線面角的關(guān)系，是中檔題．