Question

已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點O，焦點F₁、F₂在x軸上，點P在雙曲線的左支上，點M在右準(zhǔn)線上，且滿足

F1O

=

PM

，|

OF1

|=|

OM

|．
（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e；
（Ⅱ）若雙曲線C過點Q（2，

3

），B₁、B₂是雙曲線虛軸的上、下端點，點A、B是雙曲線上不同的兩點，且

B2A

=λ

B2B

，

B2A

⊥

B1B

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，表示出兩焦點的坐標(biāo)，根據(jù)

F1O

=

PM

判斷出四邊形OMPF₁為菱形進(jìn)而根據(jù)定義求得|

PF2

|=2a+|

PF1

|，根據(jù)|PM|=c求得a和c的關(guān)系，求得橢圓的離心率．
（Ⅱ）根據(jù)（1）可求得橢圓a和c的關(guān)系，把點Q代入雙曲線方程求得a和b，則雙曲線方程可得．根據(jù)

B2A

=λ

B2B

推斷出A、B₂、B三點共線．進(jìn)而根據(jù)

B2A

⊥

B1B

求得

B2A

⊥

B1B

.進(jìn)而設(shè)出直線AB的方程，進(jìn)而表示出直線B₁B的方程進(jìn)而求得B點坐標(biāo)代入雙曲線方程求得k，則直線AB的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，且F1(-c，0)，F2(c，0).
∵

F1O

=

PM

，|

OF1

|=|

OM

|
∴四邊形OMPF₁為菱形
∴|

PF2

|=2a+|

PF1

|=2a+c，|PM|=c∴

2a+c

c

=e=

c

a

∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b²=c²-a²=3a²，
∴雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1又曲線C過點Q(2，

3

)
∴

4

a2

-

3

3a2

=1，a2=3，b2=9∴雙曲線C的方程為

x2

3

-

y2

9

=1
∵

B2A

=λ

B2B

，∴A、B₂、B三點共線．∵

B2A

⊥

B1B

，∴∵

B2A

⊥

B1B

.
①當(dāng)直線AB垂直x軸時，不合題意．
②當(dāng)直線AB不垂直x軸時，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可設(shè)直線AB的方程為y=kx-3，①∴直線B₁B的方程為y=-

1

k

x+3.②
由①，②知B(

6k

k2+1

，

3k2-3

k2+1

)，代入雙曲線方程得3×

36k2

(k2+1)2

-

9(k2-1)

(k2+1)2

=9，∴k4-6k2+1=0，解得k=±

2

±1，
故直線AB的方程為y=(±

2

±1)x-3．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，向量的基本運(yùn)算等．設(shè)直線方程時一定要考慮直線的斜率是否存在．