Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N*）。
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a₁·a₂·…a_n＜2·n！

Answer 1

解：（1）將條件變?yōu)椋?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111114/201111141410102341435.gif">
因此一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比
從而
據(jù)此得 ①；
（2）據(jù)①得
為證a₁·a₂·…a_n＜2·n！
只要證n∈N*時(shí)有 ②
顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)n∈N*，有  ③
用數(shù)學(xué)歸納法證明③式：
（i）n=1時(shí)，③式顯然成立，
（ii）設(shè)n=k時(shí)，③式成立
即
則當(dāng)n=k+1時(shí)，


即當(dāng)n=k+1時(shí)，③式也成立
故對(duì)一切n∈N*，③式都成立。
利用③得

故②式成立，從而結(jié)論成立。