Question

 

     過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)；又過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，設(shè)在軸上的投影是點(diǎn)；依此下去，得到一系列點(diǎn)，，；設(shè)它們的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列為.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：；

（3）當(dāng)時(shí)，令求數(shù)列的前項(xiàng)和.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）對求導(dǎo)數(shù)，得，切點(diǎn)是的切線方程是.…2分

當(dāng)時(shí)，切線過點(diǎn)，即，得;

當(dāng)時(shí)，切線過點(diǎn)，即，得.

所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.………4分(文………6分)

（1）應(yīng)用二項(xiàng)式定理，得

………8分

（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和=

同乘以，得=兩式相減，………10分（文………8分）

得=，

所以=.………12分