Question

某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質(zhì)健康情況．從全體學生中，隨機抽取12名進行體制健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如下：根據(jù)學生體制健康標準，成績不低于76的為優(yōu)良．
（1）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，在該校學生中任選3人進行體制健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；
（2）從抽取的12人中隨機選取3人，記ξ表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）依題意得從該校學生中任選1人，成績是“優(yōu)良“的概率為

3

4

，由此利用對立事件概率計算公式能求出在該校學生中任選3人，至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率．
（2）由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．

解答： （本小題滿分13分）
解：（1）抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的有9人，頻率為

3

4

，
依題意得從該校學生中任選1人，成績是“優(yōu)良“的概率為

3

4

，…（2分）
設事件A表示“在該校學生中任選3人，至少有1人成績是“優(yōu)良””，
則P（A）=1-

C

0 3

(1-

3

4

)3=

63

64

．…（5分）
答：至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率為

63

64

．…（6分）
（2）由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，3．…..（7分）
P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 12

=

1

220

，
P（ξ=1）=

C 1 9 C 2 3

C 3 12

=

27

220

，
P（ξ=2）=

C 2 9 C 1 3

C 3 12

=

27

55

，
P（ξ=3）=

C 3 9

C 3 12

=

21

55

…（11分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 220	27 220	27 55	21 55

∴ξ的期望Eξ=0×

1

220

+1×

27

220

+2×

27

220

+3×

21

55

=

9

4

…（13分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．