Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{1+a{x}^{2}}$，其中a∈R．
（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，求 f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，證明：存在實(shí)數(shù)m＞0，使得對于任意的實(shí)數(shù)x，都有|f（x）|≤m成立．

Answer 1

分析 （1）a=$-\frac{1}{4}$帶入f（x），求出f（x），然后求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號即可判斷f（x）的單調(diào)性，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，容易判斷f′（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₁＜x₂，根據(jù)a＞0從而得到f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減．能夠求出f（1）=0，并x＜1時(shí)f（x）＞0，而x＞1時(shí)f（x）＜0，從而便得到f（x₂）≤f（x）≤f（x₁），取|f（x₁）|，|f（x₂）|最大的記為M，從而便得出證明的結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=$\frac{1-x}{1-\frac{1}{4}{x}^{2}}$；
f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠±2}；
$f′（x）=\frac{-\frac{1}{4}（{x}^{2}-2x+4）}{（1-\frac{1}{4}{x}^{2}）^{2}}=\frac{-（x-1）^{2}-3}{4（1-\frac{1}{4}{x}^{2}）^{2}}＜0$；
∴f（x）在（-∞，-2），（-2，2），（2，∞）上單調(diào)遞減；
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-2），（-2，2），（2，+∞）；
（2）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1-x}{1+a{x}^{2}}$的定義域?yàn)镽；
f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，令f′（x）=0得：
${x}_{1}=1-\sqrt{1+\frac{1}{a}}＜0$，${x}_{2}=1+\sqrt{1+\frac{1}{a}}＞1$；
∴f（x）在（-∞，x₁]，[x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；
又f（1）=0，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）$\frac{1-x}{1+a{x}^{2}}＞0$；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；
∴x≤1時(shí)，0≤f（x）≤f（x₁）；x＞1時(shí)，f（x₂）≤f（x）＜0；

記M=max{|f（x₁）|，|f（x₂）|}，其中max{|f（x₁）|，|f（x₂）|}表示兩數(shù)|f（x₁）|，|f（x₂）|中最大的數(shù)；
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，存在實(shí)數(shù)m∈[M，+∞），使得對任意的實(shí)數(shù)x，不等式|f（x）|≤m恒成立．

點(diǎn)評 考查函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性，找函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，以及函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，注意正確求導(dǎo)．