Question

（12分）已知函數(shù).

(Ⅰ)若，求曲線在處切線的斜率；

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得 ，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)曲線在處切線的斜率為. 

(Ⅱ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. （Ⅲ）.       

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程關(guān)鍵是切點(diǎn)坐標(biāo)和該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。

（2）求解定義域和導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到結(jié)論。

（3）由已知，轉(zhuǎn)化為.

由(Ⅱ)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在x>0上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意. 

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故f(x)的極大值即為最大值，進(jìn)而得到。

解(Ⅰ)由已知，

.

曲線在處切線的斜率為. 

(Ⅱ).   

①當(dāng)時(shí)，由于，故，

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為. 

②當(dāng)時(shí)，由，得.

 

在區(qū)間上，，在區(qū)間上，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

     

（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為.                    

                                              

由(Ⅱ)知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514284609377312/SYS201210251429241250152735_DA.files/image029.png">，故不符合題意.

(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)     

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故的極大值即為最大值，，  

所以，

解得.