Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=，a₂=，且數(shù)列{b_n}是公差為－1的等差數(shù)列，其中b_n=log₂（a_n+1-），數(shù)列{c_n}是公比為的等比數(shù)列，其中c_n=a_n+1-，求數(shù)列{a_n}的通項公式及它的前n項和.

Answer 1

∵a₁=，a₂=，

　　∴b₁=log₂（-×）=-2，c₁=-×=.

　　∵{b_n}是公差為－1的等差數(shù)列，{c_n}是公比為的等比數(shù)列.

　　∴b_n=

　　即即

　　消去a_n+1，得a_n=-.

　　S_n=a₁+a₂+…+a_n=3（+++…+）+2（+++…+）

　　=3×2×=3--1+.

解析:

求通項公式就是求一個關(guān)于n的未知函數(shù).在事先無法估計函數(shù)的形式結(jié)構(gòu)時，只要列出關(guān)于這個未知函數(shù)的方程或方程組即可求解.這正是數(shù)學(xué)思維的基本觀點之一——方程觀點在求函數(shù)解析式問題中的應(yīng)用.

a_n是關(guān)于n的未知函數(shù).由已知條件，事先無法估計a_n的解析式的形式結(jié)構(gòu)，因此不能用待定系數(shù)法求a_n.但是利用等差數(shù)列{b_n}和等比數(shù)列{a_n}可以列出關(guān)于a_n+1和a_n的兩個等式，視它們?yōu)殛P(guān)于a_n+1和a_n的方程組，消去a_n+1即可得a_n.