Question

對任何實數(shù)x，y，函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，則

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+

f(4)

f(3)

+…+

f(2007)

f(2006)

+

f(2008)

f(2007)

=

4014

．

Answer 1

分析：令x=1，y=n代入關(guān)系式得到

f(n+1)

f(n)

為一個定值，構(gòu)造一個常數(shù)列，再代入所求的和式進行求值即可．

解答：解：令x=1，y=n代入f（x+y）=f（x）•f（y）得，f（n+1）=f（n）•f（1），
∵f（1）=2，∴

f(n+1)

f(n)

=f（1）=2，
∴數(shù)列{

f(n+1)

f(n)

}是有無窮個2構(gòu)成的常數(shù)列，
∴

f(2)

f(1)

+

f(3)

f(2)

+

f(4)

f(3)

+…+

f(2007)

f(2006)

+

f(2008)

f(2007)

=2007×2=4014，
故答案為：4014．

點評：本題考查了抽象函數(shù)和數(shù)列求和問題，先由關(guān)系式利用“賦值法”得到，f（n+1）與f（n）的關(guān)系式，構(gòu)造出一個特殊數(shù)列，再進行求和．