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已知拋物線y2=2px(p＞0),若有過動點M（a,0）且斜率為1的直線l與拋物線交于不同兩點A、B，|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值.

思路解析：設出A、B兩點的坐標，則得Equation.3，（1）即求證|Equation.3|≤2p;(2)若AB的垂直平分線交AB于Q，則可得Equation.3、Equation.3結合三角形面積公式易求.

解：（1）設A（,y1）,B(,y2),則Equation.3=(,y2-y1),Equation.3=(-a,y1),

Equation.3=(-a,y2).  ∵Equation.3與Equation.3共線，∴（-a）y2-(-a)y1=0y1y2=-2pa.

又直線l的斜率為1，∴y2-y1=y1+y2=2p.

∴|Equation.3|=|y2-y1|==.

由0＜|AB|≤2p可得-＜a≤-.

(2)設AB的垂直平分線交AB于點Q（x,y），則

x==a+p,y==p,∴Equation.3=(p,p),|Equation.3|=p(定值).

∵|Equation.3|=|Equation.3|，∴S△NAB=|Equation.3|·|Equation.3|=p·|Equation.3|≤p2.

∴△NAB的最大面積為p2.


練習冊系列答案
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已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值．

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kMA+kMBkMF
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OA
•
OB
=
0
0
．

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