Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)；

（2）若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）令，可得則，簡單判斷，則，作出函數(shù)與的圖象，然后討論的范圍進(jìn)而得解；

（2）當(dāng)時，，則，所以的值域是；

當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的值域是，依題意得，然后討論的范圍進(jìn)而得解.

（1）因為，

令，

則，

當(dāng)時，則，不符合條件，

當(dāng)時，則

作函數(shù)與的圖象，由圖可知：

①當(dāng)時，即時，兩圖象無公共點，

則在區(qū)間內(nèi)無零點；

②當(dāng)時或時，即或時，兩圖象僅有一個公共點，

則在區(qū)間內(nèi)僅有一個零點；

③當(dāng)時，即時，兩圖象有兩個公共點，

則在區(qū)間內(nèi)有兩個零點.

（2）當(dāng)時，，則，所以的值域是；

當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的值域是，依題意，，

①當(dāng)時，不合題意；

②當(dāng)時，，

由 ，得，解得；

③當(dāng)時，，

由，得，解得；

綜上得，實數(shù)的取值范圍是.