Question

【題目】已知直線（）.

（1）證明：直線過定點(diǎn)；

（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；

（3）若直線軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，△的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值，并求此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）無論k取何值，直線過定點(diǎn)(－2，1)；（2）；（3）△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x－y＋1＋1＝0.

【解析】【試題分析】（1）將直線方程變形為含參數(shù)的項(xiàng)與 不含參數(shù)的項(xiàng)，借助條件建立方程組，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）借助（1）的結(jié)論，并數(shù)形結(jié)合建立關(guān)于的不等式組求解；（3）先求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再建立△的面積關(guān)于斜率的函數(shù)，運(yùn)用基本不等式求最小值，并借助函數(shù)取得最小值時的條件求出直線的方程：

(1)證明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令 x＋2=0 且 1－y=0，得: x=-2， y=1

∴無論k取何值，直線過定點(diǎn)(－2，1)

（2）直線方程可化為，

當(dāng)時，要使直線不經(jīng)過第四象限，則，解得；

當(dāng)時，直線為，符合題意.

綜上：的取值范圍是。

（3）令y＝0得：A點(diǎn)坐標(biāo)為,令x＝0得：B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2k＋1)(k>0)，

∴S△AOB＝|2k＋1|＝(2k＋1)＝≥(4＋4)＝4

當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時取等號．

即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為x－y＋1＋1＝0，

即 x－2y＋4＝0.